Sequência vetorial-numérica para a análise estrutural gráfica de edifícios históricos de alvenaria com arcos e sistemas simétricos

Numerical-vector succession for the graphic structural analysis of masonry historic buildings with arches and symmetrical systems
Sucesión numérico-vectorial para el análisis estructural gráfico de edificios históricos de mampostería con arcos y sistemas simétricos

C. Torres¹*, J. Rosas², O. Pérez²

¹ Research professor at Sección de Estudios de Posgrado e Investigación (SEPI), Escuela Superior de Ingeniería y Arquitectura Unidad Tecamachalco (ESIA UT), Instituto Politécnico Nacional (IPN), 53950, Naucalpan de Juárez, Estado de México, México, http://www.sepi.esiatec.ipn.mx.

² Bachelor´s student at Escuela Superior de Ingeniería y Arquitectura Unidad Tecamachalco (ESIA UT), Instituto Politécnico Nacional (IPN), 53950, Naucalpan de Juárez, Estado de México, México, http://www.sepi.esiatec.ipn.mx.

*Autor de contato: ktcate2@hotmail.com; ctorresmo@ipn.mx

Recebido: 22/12/2023
Revisado: 10/05/2024
Aceito: 14/05/2024
Publicado: 15/05/2024

RESUMO
O objetivo desta pesquisa é denotar a aplicação da sucessão numérico-vetorial na análise estrutural de edifícios históricos de alvenaria, com arcos e sistemas simétricos, incluindo processos matemáticos na análise gráfica antiga, enfatizando a importância das cargas na estabilidade estrutural. Baseamos a análise em três etapas fundamentais: reconhecimento do sistema construtivo do objeto patrimonial, discretização geométrica do sistema e análise vetorial sob diferentes considerações físicas. Assim, as linhas de impulso são afectadas pelas cargas, pelas condições de fronteira e pela história do comportamento estrutural. As ferramentas numéricas e computacionais oferecem processos de análise gráfica mais rápidos e precisos. Conclui-se que estes métodos fornecem resultados muito particulares e alguns deles são semelhantes, por isso recomenda-se utilizar os métodos como complemento e não classificar um sobre o outro.

Palavras-chave: análise estrutural; edifícios históricos; análise vetorial; arcos de alvenaria; método gráfico.

1. INTRODUÇÃO

A análise estrutural de edifícios patrimoniais é uma atividade que, além de praticada há séculos, adquiriu atualmente interesse internacional, ao qual se somam diversos aspectos técnicos. A gênese das teorias do comportamento estrutural deste tipo de edifícios reside numa análise vetorial (método gráfico) que determina o equilíbrio dos seus elementos, como arcos, abóbadas, cúpulas, pilares, encontros, contrafortes, arcobotantes etc.

Arcos com diferentes configurações de alvenaria são mostrados na Figura 1. Estes tipos de arcos são essenciais na definição do comportamento estrutural dos edifícios históricos em alvenaria. O Comité Científico Internacional para el Análisis y Restauración de Estructuras del Patrimonio Arquitectónico (ISCARSAH., 2003), é um comité técnico do Consejo Internacional de Monumentos y Sitios (ICOMOS, 2003), refere nos seus princípios e diretrizes que as estruturas de objetos patrimoniais devem ser conhecidas e compreendidas na sua totalidade, o que implica a aplicação de métodos antigos de análise estrutural para compreender o funcionamento e comportamento estrutural, bem como as técnicas que foram utilizadas no passado para a sua construção. Atualmente, a análise estrutural tem evoluído utilizando modelos analíticos e computacionais, acompanhada de pesquisas experimentais que apoiam o processo de avaliação estrutural. No entanto, ambos os tipos de análise enfrentam diversas limitações. Portanto, embora tenha havido grandes avanços na análise estrutural computacional, o uso de ferramentas antigas continua essencial para tentar situar-se na visão possível do antigo estruturalista e assim compreender o equilíbrio estrutural.

Figura 1. Vários tipos de arcos de alvenaria utilizados em edifícios históricos: a) sistema de aduelas com silhares irregulares (Huerta, S., 2006); b) sistema de aduelas com silhares regulares (Heyman, J., 1995) c) abóbada de alvenaria irregular com argamassa (Segovia, MA, 2022).

Para vislumbrar os problemas envolvidos na análise de edifícios históricos em alvenaria não armada e irregular, são citados alguns pesquisadores de todo o mundo que trabalham no assunto, para citar alguns: Block, P., et. al., (2006), que afirmam que ferramentas estáticas gráficas, interativas e de análise de limites baseadas em procedimentos gráficos fornecem métodos para caracterizar e avaliar a estabilidade estrutural de sistemas complexos de alvenaria que são eficientes e rápidos de processar, Chávez M. , (2005/ 2010) forneceu informações valiosas sobre o comportamento estrutural de sistemas de edifícios históricos completos e propriedades mecânicas de alvenaria, modeladas com elementos finitos contínuos. Por outro lado, Angelillo M., et al., (2014), trabalharam em procedimentos de análise estrutural de sistemas e elementos históricos de alvenaria discretizados, considerando a interação de contato entre eles. Durán D., et. al., (2022), que estudaram as propriedades mecânicas de igrejas antigas localizadas em diferentes partes do mundo.

2. RECONHECIMENTO DO SISTEMA ESTRUTURAL DO OBJETO PATRIMÔNIO

O objeto patrimonial analisado é um templo mexicano datado do século XVI, localizado no Estado de Hidalgo no município de Santa Catarina, sua estrutura original foi feita com pedras irregulares e argamassa de barro do local, possui 6 contrafortes nas paredes laterais, estas últimas servem de base à abóbada de berço contínua que é confinada e carregada na sua parte superior com terra do local. A Figura 2 mostra a construção antes e depois da integração de elementos de concreto armado e apresenta indícios do seu comportamento estrutural.

Figura 2. Templo de Santa Catarina; a) edifício preservado (Biblioteca Tomás Navarro Tomás, 2023); b) estado atual do templo; c) e d) fissuras na abóboda. Retirado de (Segóvia, MA, 2022).

3. DISCRETIZAÇÃO GEOMÉTRICA DOS SUBSISTEMAS

São selecionadas as tiras com maior suscetibilidade à deformação lateral. Desde que não estejam totalmente restringidos pelos contrafortes (ver figura 4).

Figura 3. Faixas selecionadas para análise; a) vista em planta; b) vista tridimensional das faixas Fr1 e Fr2 com larguras de 0,90 m e 2,50 m, respectivamente. Dimensões em metros.

Figura 4. Vista 3D das faixas Fr (subsistemas) selecionadas para análise, a) subsistema Fr1 de 0,90 m, b) subsistema Fr2 de 2,50 m de largura, c) representação da formação de dobradiças em pontos específicos análoga à do objeto patrimonial real (ver figura 3). Dimensões em metros.

Na figura 4, para ambos os sistemas, o empuxo horizontal intermediário (Eint) é exemplificado próximo ao empuxo mínimo (Emin) (ver figura 8). Teoria retirada de (Heyman, J., 1995; Huerta, S., 2004, Mas-Guindal; AJ, 2021). Nas paredes é adotada fissuração por tensão diagonal a 45 graus, semelhante à do concreto não armado (Meli, R. 2011). Ao contrário dos edifícios atualmente construídos com materiais e sistemas construtivos contínuos, a formação de dobradiças não representa como tal uma degradação da rigidez, mas indica os pontos de equilíbrio e padrões de comportamento das condições físicas atuais do objeto patrimonial. Os elementos estruturais pertencentes às faixas selecionadas são discretizados geometricamente (ver Figura 5), a geometria é modelada com a tendência de comportamento estrutural que o objeto patrimonial apresenta ou apresentou, para localizar os pontos de contato e assim visualizar a formação de possíveis dobradiças, que serve de base teórica para gerar divisões virtuais em modelos geométricos. As linhas tracejadas são possíveis pináculos para redirecionar vetores de empuxo (ver figuras 6 e 10).

Figura 5. Centros de gravidade dos blocos que formam o sistema, a) forças gravitacionais (W) concentradas nos elementos estruturais discretizados, b) peso total (WT) e peso diferencial (dW) de cada elemento atomizado, onde: C = Centro de gravidade.

Figura 6. Sequência matemática para obtenção dos centros de gravidade dos blocos, a) plano completo (Área) representativo da forma original, b) plano a ser subtraído da forma original, c) plano do segmento resultante, d) discretização das propriedades geométricas das áreas A1 e A2, e) Centro volumétrico do bloco discretizado como segmento resultante.

Figura 7. Discretização virtual por blocos (aduelas) do subsistema em arco, onde: EL: Elemento discretizado, CE: Cor do elemento, A = Área do plano centroidal, i=1 a n, n= número dos elementos discretizados (11 para o subsistema arco do objeto de estudo, ver figuras 4 e 9).

Figura 8. Sucessão de vetores em cada segmento, gerados pelos impulsos laterais, ilustrando a modificação das trajetórias ao cruzar a projeção da linha vertical que passa pelo centro de gravidade de cada elemento. Arco do subsistema e identificação das possíveis trajetórias das linhas de impulso e torção na base da abóbada. Dimensões em metros.

Figura 9. Localização das linhas de impulso quando o subsistema em arco tende a girar em relação ao ponto “r1”. Vale ressaltar que foi escolhido o ponto de rotação “r1”, pois é assim que o objeto real se comporta (ver figura 4c).

Figura 9.1. Representação de linhas de impulso. As linhas sólidas representam o impulso das aduelas e as linhas pontilhadas representam o impulso da terra comprimida acima do arco. Ambas as figuras expressam as magnitudes em Emax, Eint e Emin (ver figura 9).

Figura 10. Análise vetorial dos subsistemas simétricos, onde podem ser observadas as magnitudes e direções dos empuxos gerados por todos os elementos, com e sem as cargas de solo e de pináculo.

4. SUCESSÃO NUMÉRICO-VETORIAL DO SUBSISTEMA

A análise vetorial consiste na representação de forças com determinadas magnitudes e direções que dão origem a uma sequência de impulsos ou reações entre os diferentes elementos volumétricos (blocos) que compõem o sistema analisado; neste documento, esta análise é utilizada para a representação gráfica das cargas gravitacionais geradas por cada um dos blocos (ver Figura 5) e para a simulação dos vetores resultantes. São também considerados elementos mecanicamente homogêneos e isotrópicos com resistência praticamente infinita, sem deslizamento entre blocos e sem esforços de tração, conforme (Heyman, J. 1969; Huerta, S. 2004). Devido a edificação possuir terra compactada, considera-se que ela possui densidade de 1.600 kg/m³, vale ressaltar que a terra pode assumir outros pesos nos períodos chuvosos, já que o peso da terra úmida, segundo (Minke, G. 1994) poderia aumentar até 1.800 kg/m³. Porque o peso volumétrico é essencial para manter o equilíbrio deste tipo de estruturas, são utilizados 2.700 kg/m³, uma vez que, ao determinar as linhas de impulso com parâmetro inferior, estas saem fora da geometria (ver figura 10). Quanto às características físicas determinadas por (Chávez, Mauricio M. 2010), constatou que o peso volumétrico possível de alvenaria irregular unida com argamassa de cal é de 1.627kg/m ³.

Na Figura 5, a teoria foi retirada e adaptada de (Egor, PP e Toader, AB 1999; Goodno, BJ e Gere, JM, 2013; Hibbeler, RC 2016). As variáveis vetoriais (W ⃗i) são representadas com uma seta conforme (Spiegel, MR 1970).

Como o elemento discretizado é isotrópico e homogêneo, seu peso total é a soma dos pesos diferenciais (ver equação 1 e figura 6b). (Hibbeler, RC 2016) menciona que, se um corpo for feito de um material homogêneo, ele possui densidade constante e a força gerada pelo peso do corpo passa por um centro volumétrico (centro de gravidade). Aplicando estes princípios ao objeto apresentado na Figura 5a, é possível visualizar os vetores gravitacionais que se cruzam com o centro de gravidade de cada elemento homogêneo e discretizado. A Figura 6 ilustra os planos médios e seu suporte matemático para localizar e representar os centros de gravidade de elementos volumétricos do tipo aduelas, idealizados como elementos planos (áreas). As equações (2)-(7) definem o acima exposto; aplicando estas expressões matemáticas, são determinadas tanto as superfícies dos planos discretizados dos blocos que representam os segmentos, como as ordenadas dos seus centros de gravidade. O centro de gravidade é calculado com momentos de primeira ordem (Egor, PP e Toader, AB 1999; Goodno, BJ e Gere, JM 2013).

Onde: dW= peso diferencial do elemento, $W_T$= Peso Total do elemento, x= distância do eixo “x” ao centróide de dA,y= distância do eixo “y” ao centróide de dA, dA= área diferencial, i= 1 a n, n= número de elementos discretizados, A= área total, $A_{fc}$= área do cone, α= ângulo, r= raio do setor circular.

Na Figura 6, A_fc = Área do formato cônico, C₁ = Centro de gravidade de A₁ , C₂ = Centro de gravidade de A₂ , A₁ = Área restante após a subtração, A₂ = Área esquerda da subtração, α= Ângulo de abertura (em graus) do setor circular ao eixo centróide, g= geratriz cônica, $\stackrel{-}{y}$₁ = Distância do eixo “x” ao centróide de A ₁ , $\stackrel{-}{y}$₂ = Distância do eixo “x” ao centróide de A₂ , A= Área resultante, C= Centro de gravidade de A, dA= Área parcial, r= raio, O ângulo α é afetado por (π/180) para converter em radianos.

Com as expressões numéricas apresentadas na Figura 6 obtêm-se as propriedades geométricas para a análise do subsistema arco (ver Figura 7). Na Figura 6, os elementos discretizados (segmentos) são sobrepostos para diferenciar o centro de gravidade com base na sua posição em relação aos eixos locais (x', y'), porém, neste caso todos os elementos do subsistema arco possuem o mesmo peso volumétrico (ver tabela 1). A linha de impulso (linha de compressão) modifica sua trajetória sucessivamente quando praticamente intercepta a linha vertical do centro de gravidade de cada segmento. Caso a linha de compressão saia da geometria, significa que a compressão estaria fora do elemento e, portanto, os blocos não estariam mais em contato entre si naquele trecho. O empuxo mínimo é representado como uma força horizontal na área superior dos segmentos, comumente chamada de extradorso de aduela. No caso de um sistema de gravidade simétrico, basta analisar uma metade (ver figura 9) para conhecer a trajetória da linha de impulso de compressão, por isso é essencial determinar adequadamente as cargas de gravidade e os centros de gravidade de cada um dos blocos, pois disso depende a geração correta de empuxo entre blocos adjacentes.

Tabela 1. Centros de gravidade numéricos e código de cores dos segmentos discretizados que compõem o subsistema arco (ver figura 7).

Para determinar a trajetória da linha de empuxo, proveniente do subsistema tipo arco, é necessário selecionar o local exato e/ou o mais crítico possível com base no estado do objeto físico real. Se a análise for realizada com o empuxo crítico mínimo, praticamente cruzando o vértice, significaria que o referido subsistema está em colapso iminente. Para determinar a trajetória da linha de empuxo, o polígono funicular e o polígono de forças podem ser utilizados para fornecer o fluxo de forças nos elementos estruturais de sistemas com formatos alternativos (Markou, AA e Ruan, G. 2022). A Figura 8 mostra o empuxo horizontal mínimo e a modificação de sua trajetória em cada elemento (bloco), devido à interação com as forças atuantes nos centros de gravidade. A Tabela 2 apresenta as propriedades que representam e configuram cada elemento dos sistemas Fr1 e Fr2 com paredes e fundações.

Tabela 2. Magnitudes e ângulos dos vetores no subsistema arco sem terra.

Na figura 8, Emin= Empuxo mínimo, Eint= Empuxo intermediário, Emax= Empuxo máximo, r1-r2: pontos de rotação. Nós (a)-(f): interseções entre a linha vertical que passa pelo centróide do subsistema arco de terra compactada e os empuxos vetoriais. Nós (A)-(F): interseções entre a linha vertical que passa pelo centróide do subsistema arco não aterrado e os impulsos vetoriais. CA e CAT: centros de gravidade dos subsistemas em arco sem terra e terra compactada, respectivamente. Teoria retirada de (Barlow, William Henry 1846; Meli, R. 1998).

Onde: Emax= Empuxo máximo, Eint= Empuxo intermediário, Emin= Empuxo mínimo, Vr= Vetor de empuxo pertencente ao elemento “i” (representado com magnitude), i=1 a n, n= Elementos discretizados, Eh= Empuxo horizontal, θ = Ângulo em graus. Fr1 e Fr2 são subsistemas estruturais com espessuras de 0,90m e 2,50m, respectivamente.

Onde: EL= Elemento discretizado, A = Área do plano centroidal, i =1 a n, n= número de elementos discretizados, V= Volume, W= Carga gravitacional, W ⃗ = Magnitude do vetor que representa a carga gravitacional. Fr1 e Fr2 são subsistemas estruturais com espessuras de 0,90m e 2,50m, respectivamente.

As linhas sombreadas representam os elementos discretos de terra localizados acima da abóbada (ver figura 9). Os valores referidos à letra “f” representam os elementos “pináculo”, onde os casos Fr1 e Fr2 possuem um e três pináculos, respectivamente (ver figura 10). A Figura 10 e a Tabela 4 apresentam a análise e resultados dos subsistemas simétricos (com parede e fundação) para os casos com e sem terra no topo da abóbada, e com e sem pináculos.

Tabela 3. Valores numérico-vetoriais das propriedades físico-geométricas dos subsistemas Fr1 e Fr2, ordenados sucessivamente para a análise vetorial.

Tabela 4. Magnitudes e ângulos de empuxo por elemento no sistema simétrico com parede e fundação para as doze trajetórias possíveis da linha de empuxo apresentadas na figura 10.

Onde: Emax= Empuxo máximo, Eint= Empuxo intermediário, Emin= Empuxo mínimo, Vr= Vetor de empuxo pertencente ao elemento “i” (representado com magnitude), i=1 a n, n= Elementos discretizados, Eh= Empuxo horizontal, θ = Ângulo em graus. Fr1 e Fr2 são subsistemas estruturais com espessuras de 0,90m e 2,50m, respectivamente.

Na Figura 10, os vetores que representam as cargas W13, W14 e W15 foram desenhados na metade do comprimento e duplicados em espessura para que ainda tenham uma magnitude graficamente representativa. Esta figura mostra apenas a análise vetorial para Fr1 e as dimensões estão em metros. Nota: A linha preta pontilhada sem seta representa o empuxo calculado com um peso volumétrico da alvenaria de 1627 kg/m³, que sai da geometria.

A Figura 11 mostra os possíveis momentos de tombamento da fundação. A Tabela 5 mostra as magnitudes e relações dos momentos atuantes (Mv) e resistentes (Mr) de tombamento de acordo com os vetores resultantes para os diferentes subsistemas (ver figura 10). Mv= Momento de tombamento, GI= Rotação inicial, GF= Rotação final, K= Rigidez vertical do solo. Teoria retirada de (Meli, R. 2011) e adaptada pelo autor.

Figura 11. Momentos de tombamento de acordo com o comportamento da fundação em diferentes tipos de solo. a) fundação colocada em solo não compressível, b) fundação colocada em solo moderadamente compressível, c) fundação colocada em solo altamente compressível.

Tabela 5. Resultados das diferentes linhas de impulso nos subsistemas simétricos com parede e fundação para as doze configurações possíveis analisadas para Fr1.

Por outro lado, também foram desenvolvidas análises digitais por meio de software (Computers and Structures, Inc. 2023), baseado no Método dos Elementos Finitos (MEF). As Figuras 12 a 17 apresentam as simulações do comportamento estrutural da faixa Fr1, que considera a estrutura contínua e descontínua. Nos modelos descontínuos, as separações de elementos finitos foram simuladas nas áreas fissuradas da abóbada do objeto real. Nos modelos contínuos não foram simuladas tais separações. Para a modelagem foram levados em consideração elementos do tipo casca plana e elementos do tipo sólido 3D. Segundo (Circolare, 2019), o módulo de elasticidade (E), para todos os modelos, foi assumido como 7.036 kg/cm². Módulo de Poisson de 0,17. A densidade dos materiais foi considerada a mesma das análises gráficas.

Figura 12. Tensões em kg/cm² e comportamento das deformações em meia simétrica com pináculos, com enchimento de terra na abóbada e com rotação livre no centro da fundação. Casos: a) descontínuo com “shell”. b) contínuo com “shell”. c) descontínuo com sólidos. d) contínuo com sólidos.

Figura 13. Tensões em kg/cm² e comportamento das deformações em meia simétrica com pináculos, com enchimento de terra na abóbada e com apoio total da fundação. Casos: a) descontínuo com “shell”. b) contínuo com “shell”. c) descontínuo com sólidos. d) contínuo com sólidos.

Figura 14. Tensões em kg/cm² e comportamento das deformações em meio simétrico sem pináculos, com enchimento de terra na abóbada e rotação livre no centro da fundação. Casos: a) descontínuo com “shell”. b) contínuo com “shell”. c) descontínuo com sólidos. d) contínuo com sólidos.

Figura 15. Simulação virtual do comportamento estrutural da faixa completa Fr1 utilizando elementos finitos. a) Faixa Fr1 modelada com elementos descontínuos do tipo “shell” de acordo com os problemas apresentados pelo objeto real. b) Faixa Fr1 modelada com elementos contínuos do tipo “shell”. Ambos os modelos permitem rotação na fundação.

Figura 16. Simulação virtual do comportamento estrutural da faixa completa Fr1 utilizando elementos finitos. a) Faixa Fr1 modelada com elementos descontínuos do tipo sólido de acordo com os problemas apresentados pelo objeto real. b) Faixa Fr1 modelada com elementos contínuos do tipo sólido.

Os modelos de faixas Fr1 mostrados nas Figuras 15a e 15b representam períodos de vibração na direção paralela ao plano de T=0,1 s e T=0,51 s respectivamente, ambos os casos foram desenvolvidos com a base de fundação simplesmente apoiada.

Como pode ser observado nas figuras 13 a 16, as linhas de compressão não saem da geometria das estruturas, uma vez que estes modelos de elementos finitos tendem a desenvolver um equilíbrio entre tensão e compressão em materiais elásticos contínuos.

5. RESULTADOS E DISCUSSÃO

A aplicação de equações matemáticas e seu processamento computacional diminuiu o tempo de traçados gráficos, visto que em uma mesma faixa sistematizada foram desenvolvidos doze casos diferentes de comportamento estrutural e os resultados foram mais exatos, dada a precisão exigida pela análise vetorial. O processo de análise de edifícios históricos em alvenaria com arcos e sistemas simétricos apresentado neste trabalho pode ser aplicado na pesquisa e na prática profissional de forma rápida e precisa, para encontrar as cargas necessárias e manter o equilíbrio estático estrutural. O processo matemático para determinar as áreas das aduelas baseia-se em arcos totalmente curvos. Caso seja necessário analisar arcos com segmentos retos, estas equações matemáticas devem ser alteradas.

Onde: Py= Componente vertical do último vetor (Vuri), H= Altura medida desde a superfície de contato da fundação com o solo até a intersecção do último vetor (Vuri) com a linha perimetral (borda) da parede (Elemento 13 para este objeto de estudo), = sem terra, s/p= sem pináculos, c/t= com terra, c/p= com pináculos. Esta tabela apresenta apenas os resultados do subsistema Fr1, pois são proporcionais dependendo da largura das faixas.

Ao comparar os resultados da análise gráfica com os obtidos nas análises de elementos finitos, observa-se que o comportamento estrutural tende a ser semelhante, mas com algumas particularidades, as paredes tendem a virar para fora e a abóbada é propensa a rebaixar, onde o topo da tecla se move para baixo devido aos efeitos gravitacionais. Nos elementos modelados como descontínuos, o intradorso da chave tende a ser tensionado e como a alvenaria tem muito pouca resistência à tração, praticamente nula, mesmo sendo aduelas, essa área se abre causando uma torção na área ou ponto de contato superior e gera, portanto, o que nos métodos gráficos é chamado de empuxo horizontal mínimo (Emin). Os resultados que mais se assemelham ao método gráfico são os modelos com elementos do tipo (shell) onde a descontinuidade é considerada tal como aparece no objeto real. Por exemplo: ao comparar as forças calculadas com o método gráfico estático no caso em que foram consideradas descontinuidades, carga de terra acima da abóbada e pináculo, obteve-se um empuxo horizontal mínimo de 2.268,62 kg (ver tabela 4), e no mesmo caso modelado com elementos finitos, obteve-se um esforço na mesma área de 0,33 kg/cm², portanto, quando convertido em força, obtém-se um empuxo horizontal de 2.970 kg (ver figura 12a), portanto, o Emin calculado com gráfico Os métodos, para este caso específico, tiveram uma diferença de magnitude 24% menor que a calculada com elementos finitos, isso se deve à redistribuição dos elementos mecânicos e das forças, devido à continuidade dos sistemas baseados em elementos do tipo casca ou sólidos. Por outro lado, para determinar a linha de empuxo nos modelos de elementos finitos, cada delta de superfície de cada elemento de casca modelado foi selecionado para encontrar a compressão que representa a linha de empuxo para representá-la graficamente.

6. CONCLUSÕES

Em sistemas estruturais homogêneos, isotrópicos, infinitamente resistentes e sem deslizamento entre elementos, apenas a metade simétrica pode ser modelada. A seleção dos pontos de rotação do subsistema arco está condicionada pela configuração que a estrutura tem, teve ou terá. Quanto mais divisões virtuais ou reais o sistema tiver, maior será a precisão na determinação e formação das dobradiças e, portanto, maior será a certeza na obtenção da posição da linha de impulso.

O tipo de solo contribui para o comportamento da superestrutura, uma vez que podem ser gerados efeitos de segunda ordem (P-Delta), devido ao possível tombamento das fundações. A contribuição das cargas dos pináculos no topo das paredes e da terra no topo da abóbada traduz-se numa maior estabilidade face aos efeitos de tombamento em paredes e fundações, nomeadamente a presença da carga do solo desloca o empuxo linha mais próxima do terço central geométrico de segurança no subsistema arco. A integração dos pináculos e do solo aumentou consideravelmente a relação Momento de Resistência/Momento de Capotamento.

Ao comparar as linhas de empuxo-compressão dos modelos gráficos e de elementos finitos, fica evidente que existem algumas diferenças, uma vez que os elementos finitos utilizados nestas análises possuem continuidade na maioria dos modelos, pois a maioria deles são contínuos e apresentam tração. Conclui-se que estes métodos fornecem resultados muito particulares e alguns deles são semelhantes, por isso recomenda-se utilizar os métodos como complemento e não classificar um em detrimento do outro. Finalmente, é importante estudar este tipo de estruturas com análise de elementos de contacto.

7. AGRADECIMENTOS

Agradecimentos a Jorge Fernando Zárate Martínez pelo apoio na correção final em inglês. Obrigado também a Elizabeth Amador por facilitar o acesso ao edifício. À Unidad Académica Escuela Superior de Ingeniería y Arquitectura Unidad Tecamachalco (ESIA UT) do Instituto Politécnico Nacional (IPN), México.

8. REFERÊNCIAS

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