(6)

Nomenclatura:

b_w = Largura da alma(mm).

d = Alcance efetivo da viga (mm).

f´_c = Tensão de projeto na compressão especificada em 28 dias. (MPa).

f_y = Tensão de escoamento do estribo (MPa).

s = Espaçamento entre estribos (mm).

A_s = Área de aço longitudinal (mm²).

A_v = Área dos estribos (mm²).

M_u = Momento (kN.mm).

V_c = Resistência ao cisalhamento fornecida pelo concreto (kN).

V_n = Resistência ao cisalhamento teórica nominal (kN).

V_s = Resistência ao cisalhamento fornecida pelos estribos (kN).

V_u = Força de cisalhamento (kN).

ρ_w = Taxa de armadura longitudinal na alma.

λ = Fator de densidade do concreto = 1,0 para concreto de peso normal.

4. MÉtodos analíticos clÁssicos para concreto reforÇado com fibras

4.1 Modelo de Swamy (Swamy et al., 1974)

Este modelo caracteriza-se por ser um método simples e considera que em uma viga de concreto reforçado com fibras sem estribos. A determinação do cisalhamento último teórico pode ser realizada da seguinte forma:

(7)

A abordagem do modelo Swamy foi desenvolvida para determinar a tensão última de tração do concreto reforçado com fibras na flexão, com a intenção de não ter que fazer tantos ensaios em laboratório para determinar o resultado, portanto o modelo se propõe a ser obtido com a seguinte equação:

(8)

(9)

No caso da existência de estribos na viga, a contribuição para a resistência última ao cisalhamento obtida a partir da equação (13) é calculada com a seguinte equação:

(10)

Nomenclatura:

b = Largura da viga (mm).

d = Linha neutra efetiva da viga (mm).

f_cm = Resistência a compressão do concreto reforçado com fibras (MPa).

f_ywm = Tensão nos estribos (MPa).

s = Espaçamento entre estribos (mm).

A_sw = Área dos estribos (mm²).

D_f = Diâmetro da fibra (mm).

L_f = Comprimento da fibra (mm).

V_f = Fração de volume de fibra.

V_w = Resistência ao cisalhamento fornecida pelos estribos (kN).

V_u = Resistência última ao cisalhamento teórico (kN).

σ_m = Resistência à tração do concreto reforçado com fibra (MPa).

σ_ut = Tensão última de tração do concreto reforçado com fibra sujeito a flexão (MPa).

4.2 Modelo de Narayanan (Narayanan et al., 1987)

Este modelo considera três termos para o cálculo da resistência última ao cisalhamento teórico, o primeiro termo leva em consideração a contribuição da fibra de reforço ao concreto, o segundo termo considerará a ação do “segmento” que fornece a armadura longitudinal e, finalmente, o último termo propõe a contribuição da resistência à extração das fibras na fissuração diagonal. Desta forma, o modelo proposto é o seguinte:

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

Os fatores identificados que influenciam a resistência do concreto reforçado com fibras são a fração volumétrica da fibra, a relação de aspecto e a interface que existe entre a fibra e a matriz. A seguinte equação considera esses três fatores:

(16)

(17)

(18)

Nomenclatura:

a = Região de cisalhamento (mm).

b = Largura da viga (mm).

d = Linha neutra da viga (mm).

d_f = Fator de aderência de acordo com o tipo de fibra = 0,5 circular; 0,75 ondulado; 1 serrilhado.

e = Fator adimensional que leva em consideração a ação do efeito de arco.

f_cuf = Resistência à compressão de concreto reforçado com fibra (MPa).

f_spfc = Resistência à tração diametral de concreto reforçado com fibra (MPa).

A = Constante adimensional.

A´ = Constante adimensional = 0.24

A_s = Área de armadura longitudinal (mm²).

B = Constante = 0.7 MPa

B´ = Constante = 80 MPa

C = Constante = 1 MPa

F = Fator de fibra.

V_b = Força de arrancamento da fibra na rachadura (kN).

V_u = Resistência última ao cisalhamento teórico (kN).

ρ_f = Fração de volume de fibra.

ρ = Relação de armadura longitudinal.

τ = Força última de adesão = 4.15 MPa

5. Resultados e discussões

5.1 Estimativa de resistência última usando modelos analíticos

A Tabela 5 mostra os resultados da resistência nominal ao cisalhamento (Vn) obtida pelo modelo ACI 318-14 com as equações (1), (2) e (6). A resistência Vn é utilizada no dimensionamento ao cisalhamento de vigas de concreto armado e inclui a resistência proporcionada pelo concreto, pela armadura longitudinal e pelos estribos. Este modelo não considera a contribuição das fibras como reforço no concreto.

Existem estudos anteriores que propõem modelos analíticos baseados em resultados experimentais (Dinh et al., 2010, Aoude et al., 2012), e outros que analisam dados experimentais de várias fontes e utilizam um número significativo de modelos analíticos para fazer comparações, (Haisam, 2011). O objetivo deste estudo foi produzir uma experimentação científica própria que valide os modelos analíticos selecionados que são considerados clássicos na literatura, pois têm sido a base de tantos outros e que o mérito destes últimos reside apenas na personalização de alguma variável, sem ser uma modificação substancial do modelo original.

A Tabela 6 mostra os resultados experimentais das resistências à compressão e à tração de corpos de prova reforçados com fibras, que foram usados pelos modelos analíticos para a previsão da resistência última ao cisalhamento teórico. A resistência à compressão foi considerada como f_cuf para o modelo de Narayanan. Da mesma forma, a resistência à tração foi considerada como f_spfc para o modelo de Narayanan. Esses valores foram obtidos de forma padronizada conforme indicado anteriormente, portanto, alcançá-los não representa uma dificuldade significativa para a aplicação dos modelos estudados.

A Tabela 7 mostra os resultados obtidos a partir dos modelos analíticos selecionados para determinar a resistência última ao cisalhamento teórico.

5.2 Efeito do reforço de fibra em vigas de concreto armado em relação aos modelos teóricos.

A Tabela 8 mostra os resultados da resistência experimental ao cisalhamento das vigas de concreto reforçado com fibras com e sem estribos, as médias são obtidas para cada par de vigas ensaiadas em laboratório.

O efeito sobre a resistência última ao cisalhamento proporcionada pelo reforço com as fibras de aço fica evidente ao se comparar as tabelas 5, 7 e 8, porém, é conveniente fazer uma relação direta entre a resistência obtida experimentalmente e a resistência analítica. Na figura 2a esses valores são apresentados graficamente, os quais foram obtidos dividindo-se a coluna 3 da tabela 8 pela resistência nominal ao cisalhamento (equação 1) para a relação a/c = 0,55 e a figura 2b mostra os valores que foram obtidos por dividindo a coluna 6 da tabela 8 pela resistência nominal ao cisalhamento (equação 1) para a relação a/c = 0,35.

Figura 2. Contribuição do reforço de fibra comparando a resistência ao cisalhamento experimental de vigas de concreto reforçado com fibra com estribos obtidos na tabela 8 vs a resistência ao cisalhamento nominal obtida na tabela 5. (a) Relação a/c = 0,55. (b) Relação a/c = 0,35.

Para vigas com relação a/c = 0,55, a fibra aumenta em até 33% da resistência ao cisalhamento em comparação com a resistência nominal para Vf = 0,7%. No caso das vigas com relação a/c = 0,35, a contribuição das fibras é apenas 19% menos significativa para Vf = 0,6%. Este comportamento apresentado nos dois tipos de vigas pode ser devido ao fato de as fibras permitirem reduzir a largura das fissuras devido à tensão diagonal, promovendo uma redistribuição das tensões nos pilares, tornando-os mais eficientes.

A eficácia do reforço de fibra combinada com o uso de estribos já foi relatada, encontrando uma melhora na resistência última ao cisalhamento e na ductilidade (Sarhat et al., 2006). O uso de Vf de 0,5 e 1,5% foi mais eficaz do que aumentar a relação a/c. A Tabela 8 mostra ainda que as vigas com relação a/c = 0,55 para todos os volumes de fibra atingem uma resistência ao cisalhamento experimental maior do que as vigas de controle com a/c = 0,35, mesmo quando estas últimas têm a/c maior. Isso nos permite supor que para grandes volumes de fibra (> 0,5%), a relação a/c não parece ter um efeito significativo.

A Tabela 9 mostra os resultados experimentais da resistência última ao cisalhamento em comparação com os resultados teóricos obtidos a partir dos três modelos analíticos estudados. O efeito da relação a/c das vigas pode ser observado tanto para os resultados experimentais quanto teóricos, uma vez que a resistência ao cisalhamento aumenta em uma relação a/c menor. O melhor comportamento produzido pela combinação de estribos e fibras de aço em relação às vigas reforçadas com fibras sem estribos também é evidenciado por modelos analíticos.

A Tabela 9 mostra uma relação entre o valor experimental e o valor teórico para identificar o quanto a resistência última ao cisalhamento é superestimada. Os modelos analíticos de Swamy e Narayanan preveem valores em sua maioria maiores que a unidade, ou seja, subestimam os valores experimentais, sendo estes conservadores. Os três modelos apresentam valores semelhantes aos experimentais para ambas as relações a/c e para vigas reforçadas com fibras com estribos, porém, para as vigas sem estribos (17,18,19 e 20) a resistência ao cisalhamento é superestimada em todas para a relação a/c = 0,35. Da mesma forma, o efeito do volume da fibra também é modelado adequadamente, uma vez que registra o aumento na resistência última ao cisalhamento experimental à medida que aumenta o Vf fibra.

Os critérios conceituais com os quais os três modelos foram estabelecidos explicam a diferença em sua previsão dos valores experimentais, enquanto o modelo ACI tenta considerar as contribuições para a resistência última ao cisalhamento do concreto, das fibras e dos estribos caso os possuam, e até mesmo o efeito da força de arco. O modelo Swamy consideravelmente mais simples fornece valores mais conservadores do que os experimentais, e apenas o modelo de Narayanan considera a resistência à tração do concreto. Os dois últimos modelos consideram o efeito da relação de aspecto da fibra e a variação do Vf. Vale ressaltar que os modelos analíticos estudados não fornecem dados sobre os padrões de ductilidade e fissuração de vigas de concreto reforçado com fibras.

Tabela 9. Relação da resistência ao cisalhamento experimental entre a resistência ao cisalhamento analítica obtida de cada modelo

Da mesma forma, na tabela 9 pode-se observar que, analisando os resultados para as vigas sem estribos, o modelo de Narayanan superestima os valores e o modelo de Swamy faz o mesmo, mas está mais próximo da unidade.

O comportamento gráfico do anteriormente discutido é apresentado na figura 3, onde pode ser observada uma relação entre os resultados da resistência última ao cisalhamento experimental e os resultados dos modelos analíticos. Observa-se que a previsão dos valores obtidos nos modelos que se aproximam da diagonal é igual ao experimental, caso contrário, todos os valores abaixo desta diagonal são pouco conservadores. É o caso de alguns pontos do modelo de Narayanan que apresentam menor grau de aproximação em relação aos demais modelos analíticos propostos por Swamy e ACI. A maioria dos pontos plotados dos três modelos mostra similaridade em seus resultados e são considerados conservadores por estarem na diagonal.

Figura 3. Resistência experimental ao cisalhamento vs resistência última ao cisalhamento obtida pelos três modelos analíticos propostos, para vigas reforçadas com fibras com ambas as relações a/c, com estribos e sem estribos.

5.3 Efeito da ação combinada de reforço com fibras de aço e estribos.

A Figura 5 mostra os resultados da resistência ao cisalhamento experimental das vigas de concreto reforçado com fibras sem estribos, mas com maior teor de fibra, e são comparados com as vigas de controle e os valores limites dos três modelos estudados.

Figura 5. Comportamento de vigas reforçadas com fibra sem estribos em comparação com vigas de controle. (a) Relação a/c = 0,55. (b) Relação a/c = 0,35.

Na figura 5 pode-se observar que para ambas as relações a/c a contribuição do teor máximo de fibra para a resistência ao cisalhamento experimental das vigas sem estribos (17, 18, 19 e 20) não foi suficiente para pelo menos igualar a resistência experimental das vigas de controle (1,2,9 e 10) que não possuem fibra, mas que possuem o maior número de estribos. Mesmo que apenas as vigas para a relação a/c = 0,55 atinjam a resistência teórica prevista pelos modelos, não sendo o caso das vigas com relação a/c = 0,35, isso pode ser devido ao fato de terem menos Vf e que o aumento da resistência do concreto não foi suficiente, porém, pode-se observar que o comportamento pós-fissuração nas vigas reforçadas apenas com fibras teve menor redução na resistência ao cisalhamento do que nas vigas apenas com estribos, isso se deve à adesão da fibra que permite a transferência de esforços. Os feixes de controle apresentam comportamento adequado e atingem o valor previsto pelo ACI.

Ao contrário, pode-se observar na figura 6 onde as vigas reforçadas com fibras com Vf máximo e com menor quantidade de estribos apresentaram maior resistência ao cisalhamento que as vigas de controle, mesmo ultrapassando significativamente os valores limites dos modelos. A contribuição das fibras em combinação com a metade da área da seção transversal de aço que as vigas de controle aumentaram a resistência última ao cisalhamento em relação à resistência nominal teórica e acabou sendo consideravelmente maior em comparação com os resultados obtidos para o controle vigas com maior número de estribos.

Figura 6. Comportamento de vigas reforçadas com fibras com o mínimo de estribos em relação às vigas de controle. (a) Relação a/c = 0,55. (b) Relação a/c = 0,35.

Do ponto de vista do comportamento estrutural do concreto armado, a presença de fibras de aço como reforço adicional para vigas com estribos, permite aumentar significativamente a resistência última ao cisalhamento, justificando-se a utilização de modelos analíticos que permitam predizer, com certeza, uma resistência teórica ao cisalhamento associada àquela obtida experimentalmente, e que é um auxílio de projeto para este tipo de elementos estruturais.

A presente pesquisa teve como objetivo mostrar que a resistência última ao cisalhamento aumenta substancialmente com o uso de fibras de aço e que, conhecendo modelos analíticos de simples aplicação, podem se tornar uma ferramenta útil para a análise e dimensionamento de vigas de concreto reforçado com fibras com estribos. e sem estribos. Nesta perspectiva, as conclusões que se aplicam de acordo com os resultados obtidos são apresentadas a seguir.

6. ConclusÕes

7. Agradecimentos

Agradecemos ao Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología (CONACYT), pelo apoio financeiro para a bolsa para aluno de Mestrado. Além disso, agradecemos às autoridades do Instituto de Engenharia Civil “Dr. Raymundo Rivera Villarreal” da Faculdade de Engenharia Civil da UANL, pelo apoio na utilização das infraestruturas necessárias à realização dos ensaios experimentais.

REFERÊNCIAS

ACI 318S-14, (2014), Requisitos de Reglamento para Concreto Estructural y Comentarios, Instituto Americano del Concreto, ACI.

Ashour, S. A., Hasanain, G. S., Wafa, F. F. (1992), Shear Behavior of High-Strength Fiber Reinforced Concrete Beams, ACI Structural Journal, Vol. 89, No. 2, March-April, pp. 176 - 184.

Aoude, H., Belghiti, M., Cook, W. D., Mitchell, D. (2012), Response of steel fiber-reinforced concrete beams with and without stirrups, ACI Structural Journal, Vol. 109, No. 3, pp. 359-367.

ASTM International. (2018). ASTM C33 / C33M-18, Standard Specification for Concrete Aggregates. Annual Book of ASTM Standards, American Society of Testing Materials. https://doi.org/10.1520/C0033_C0033M-18

ASTM International. (2020). ASTM A615 / A615M-20, Standard Specification for Deformed and Plain Carbon-Steel Bars for Concrete Reinforcement. West Conshohocken, PA. https://doi.org/10.1520/A0615_A0615M-20

ASTM International. (2016). ASTM A820 / A820M-16, Standard Specification for Steel Fibers for Fiber-Reinforced Concrete. West Conshohocken, PA. https://doi.org/10.1520/A0820_A0820M-16

ASTM International. (2020). ASTM C143 / C143M-20, Standard Test Method for Slump of Hydraulic-Cement Concrete. West Conshohocken, PA. https://doi.org/10.1520/C0143_C0143M-20

ASTM International. (2019). ASTM C192 / C192M-19, Standard Practice for Making and Curing Concrete Test Specimens in the Laboratory, Annual Book of ASTM Standards, American Society of Testing Materials. https://doi.org/10.1520/C0192_C0192M-19

ASTM International. (2021). ASTM C39 / C39M-21, Standard Test Method for Compressive Strength of Cylindrical Concrete Specimens. West Conshohocken, PA. https://doi.org/10.1520/C0039_C0039M-21

ASTM International. (2017). ASTM C496 / C496M-17, Standard Test Method for Splitting Tensile Strength of Cylindrical Concrete Specimens. West Conshohocken, PA. https://doi.org/10.1520/C0496_C0496M-17

ASTM International. (2017a). ASTM C231 / C231M-17a, Standard Test Method for Air Content of Freshly Mixed Concrete by the Pressure Method. West Conshohocken, PA. https://doi.org/10.1520/C0231_C0231M-17A

Dinh, H. H., Parra-Montesinos, G. J., Wight, J. K. (2010), Shear behavior of steel fiber-reinforced concrete beams without stirrup reinforcement, ACI Structural Journal, Vol. 107, No. 5, pp. 597-606.

Dupont, D., Vandewalle, L. (2003), Shear Capacity of Concrete Beams Containing Longitudinal Reinforcement and Steel Fibers, ACI Structural Journal, Vol. 216, pp. 79 - 94.

Haisam, E. Y. (2011), Shear Stress Prediction: Steel Fiber - Reinforced Concrete Beams without Stirrups, ACI Structural Journal, Vol. 108, No. 3, May-June, pp. 304 - 314.

Juarez, C., Valdez, P., Durán, A., Sobolev, K. (2007), The diagonal tension behavior of fiber reinforced concrete beams, Cement & Concrete Composites, 29(5):402-408. https://doi.org/10.1016/j.cemconcomp.2006.12.009

Jun Z., Jingchao L., Liusheng C. and Fuqiang S. (2018), Experimental Study on Shear Behavior of Steel Fiber Reinforced Concrete Beams with High-Strength Reinforcement. Materials, 11 (9), 1682, pp. 1-19. https://doi.org/10.3390/ma11091682

Khuntia, M., Stojadinovic, B. (2001), Shear Strength of Reinforced Concrete Beams without Transverse Reinforcement, ACI Structural Journal, Vol. 98, No. 5, September-October, pp. 648 - 656.

Marì Bernat, A., Spinella, N., Recupero, A. (2020), Mechanical model for the shear strength of steel fiber reinforced concrete (SFRC) beams without stirrups. Materials and Structures. 53(28). https://doi.org/10.1617/s11527-020-01461-4

Narayanan, R., Darwish, I. Y. S. (1987), Use of Steel Fibers as Shear Reinforcement, ACI Structural Journal, 84 (3), May - June, pp. 216 - 226.

Organismo Nacional de Normalización y Certificación de la construcción y Edificación, S.C. (ONNCCE) (2017). NMX-C-414-ONNCCE: Industria de la Construcción - Cementos Hidráulicos - Especificaciones y Métodos de Prueba. Norma Mexicana.

Park, P., Paulay, T. (1990), “Estructuras de Concreto Reforzado”, Editoriales Limusa y Noriega, Nueva Edición, pp. 288 - 294. https://www.u-cursos.cl/usuario/7ed3df485e955c4de1ffa12120d4bb52/mi_blog/r/estructuras_de_concreto_reforzado_-_r._park___t._paulay.pdf

Sarhat, S. R., Abdul-Ahad, R. B. (2006), The Combined Use of Steel Fibers and Stirrups as Shear Reinforcement in Reinforced Concrete Beams, SP, American Concrete Institute, vol. 235, pp. 269 - 282.

Shin, S. W., Oh, J. G., Ghosh, S. K. (1994), Shear Behavior of Laboratory-Sized High Strength Concrete Beams Reinforced with Bars and Steel Fibers, American Concrete Institute, Volume 142. pp. 181-200.

Swamy, R. N., Bahía, H. M. (1985), The Effectiveness of Steel Fibers as Shear Reinforcement, Concrete International, Design and Construction, Vol. 7, No. 3, March, pp. 35 - 40.

Swamy, R. N., Mangat, P. S., Rao, C. V. S. K. (1974), The Mechanics of Fiber Reinforcement of Cement Matrices, Symposium Paper, American Concrete Institute, 44, pp. 1 - 28.

Swamy, R. N., Narayan, J., Roy Chiam, T. P. (1993), Influence of Steel Fibers on the Shear Resistance of Lightweight Concrete I - Beams, ACI Structural Journal, Vol.90, No. 1, January - February, pp. 103 - 114. https://doi.org/10.14359/4201